Потенциальный баpьеp. Туннельный эффект

Туннельный эффект
Tunneling effect

Туннельный эффект (туннелирование) – прохождение частицы (или системы) сквозь область пространства, пребывание в которой запрещено классической механикой. Наиболее известный пример такого процесса – прохождение частицы сквозь потенциальный барьер, когда её энергия Е меньше высоты барьера U 0 . В классической физике частица не может оказаться в области такого барьера и тем более пройти сквозь неё, так как это нарушает закон сохранения энергии. Однако в квантовой физике ситуация принципиально другая. Квантовая частица не движется по какой-либо определенной траектории. Поэтому можно лишь говорить о вероятности нахождения частицы в определенной области пространства ΔрΔх > ћ. При этом ни потенциальная, ни кинетическая энергии не имеют определенных значений в соответствии с принципом неопределенности. Допускается отклонение от классической энергии Е на величину ΔЕ в течение интервалов времени t, даваемых соотношением неопределённостей ΔЕΔt > ћ (ћ = h/2π, где h – постоянная Планка).

Возможность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер обусловлена требованием непрерывной волновой функции на стенках потенциального барьера. Вероятность обнаружения частицы справа и слева связаны между собой соотношением, зависящим от разности E - U(x) в области потенциального барьера и от ширины барьера x 1 - x 2 при данной энергии.

С увеличением высоты и ширины барьера вероятность туннельного эффекта экспоненциально спадает. Вероятность туннельного эффекта также быстро убывает с увеличением массы частицы.
Проникновение сквозь барьер носит вероятностный характер. Частица с Е < U 0 , натолкнувшись на барьер, может либо пройти сквозь него, либо отразиться. Суммарная вероятность этих двух возможностей равна 1. Если на барьер падает поток частиц с Е < U 0 , то часть этого потока будет просачиваться сквозь барьер, а часть – отражаться. Туннельное прохождение частицы через потенциальный барьер лежит в основе многих явлений ядерной и атомной физики: альфа-распад, холодная эмиссия электронов из металлов, явления в контактном слое двух полупроводников и т.д.

Имеется вероятность, что квантовая частица проникнет за барьер, который непреодолим для классической элементарной частицы.

Представьте шарик, катающийся внутри сферической ямки, вырытой в земле. В любой момент времени энергия шарика распределена между его кинетической энергией и потенциальной энергией силы тяжести в пропорции, зависящей от того, насколько высоко шарик находится относительно дна ямки (согласно первому началу термодинамики). При достижении шариком борта ямки возможны два варианта развития событий. Если его совокупная энергия превышает потенциальную энергию гравитационного поля, определяемую высотой точки нахождения шарика, он выпрыгнет из ямки. Если же совокупная энергия шарика меньше потенциальной энергии силы тяжести на уровне борта лунки, шарик покатится вниз, обратно в ямку, в сторону противоположного борта; в тот момент, когда потенциальная энергия будет равна совокупной энергии шарика, он остановится и покатится назад. Во втором случае шарик никогда не выкатится из ямки, если не придать ему дополнительную кинетическую энергию — например, подтолкнув. Согласно законам механики Ньютона , шарик никогда не покинет ямку без придания ему дополнительного импульса, если у него недостаточно собственной энергии для того, чтобы выкатиться за борт.

А теперь представьте, что борта ямы возвышаются над поверхностью земли (наподобие лунных кратеров). Если шарику удастся перевалить за приподнятый борт такой ямы, он покатится дальше. Важно помнить, что в ньютоновском мире шарика и ямки сам факт, что, перевалив за борт ямки, шарик покатится дальше, не имеет смысла, если у шарика недостаточно кинетической энергии для достижения верхнего края. Если он не достигнет края, он из ямы просто не выберется и, соответственно, ни при каких условиях, ни с какой скоростью и никуда не покатится дальше, на какой бы высоте над поверхностью снаружи ни находился край борта.

В мире квантовой механики дело обстоит иначе. Представим себе, что в чем-то вроде такой ямы находится квантовая частица. В этом случае речь идет уже не о реальной физической яме, а об условной ситуации, когда частице требуется определенный запас энергии, необходимый для преодоления барьера, мешающего ей вырваться наружу из того, что физики условились называть «потенциальной ямой» . У этой ямы есть и энергетической аналог борта — так называемый «потенциальный барьер» . Так вот, если снаружи от потенциального барьера уровень напряженности энергетического поля ниже, чем энергия, которой обладает частица, у нее имеется шанс оказаться «за бортом», даже если реальной кинетической энергии этой частицы недостаточно, чтобы «перевалить» через край борта в ньютоновском понимании. Этот механизм прохождения частицы через потенциальный барьер и назвали квантовым туннельным эффектом.

Работает он так: в квантовой механике частица описывается через волновую функцию, которая связана с вероятностью местонахождения частицы в данном месте в данный момент времени. Если частица сталкивается с потенциальным барьером, уравнение Шрёдингера позволяет рассчитать вероятность проникновения частицы через него, поскольку волновая функция не просто энергетически поглощается барьером, но очень быстро гасится — по экспоненте. Иными словами, потенциальный барьер в мире квантовой механики размыт. Он, конечно, препятствует движению частицы, но не является твердой, непроницаемой границей, как это имеет место в классической механике Ньютона.

Если барьер достаточно низок или если суммарная энергия частицы близка к пороговой, волновая функция, хотя и убывает стремительно при приближении частицы к краю барьера, оставляет ей шанс преодолеть его. То есть имеется определенная вероятность, что частица будет обнаружена по другую сторону потенциального барьера — в мире механики Ньютона это было бы невозможно. А раз уж частица перевалила через край барьера (пусть он имеет форму лунного кратера), она свободно покатится вниз по его внешнему склону прочь от ямы, из которой выбралась.

Квантовый туннельный переход можно рассматривать как своего рода «утечку» или «просачивание» частицы через потенциальный барьер, после чего частица движется прочь от барьера. В природе достаточно примеров такого рода явлений, равно как и в современных технологиях. Возьмем типичный радиоактивный распад : тяжелое ядро излучает альфа-частицу, состоящую из двух протонов и двух нейтронов. С одной стороны, можно представить себе этот процесс таким образом, что тяжелое ядро удерживает внутри себя альфа-частицу посредством сил внутриядерной связи, подобно тому как шарик удерживался в ямке в нашем примере. Однако даже если у альфа-частицы недостаточно свободной энергии для преодоления барьера внутриядерных связей, всё равно имеется вероятность ее отрыва от ядра. И, наблюдая спонтанное альфа-излучение, мы получаем экспериментальное подтверждение реальности туннельного эффекта.

Другой важный пример туннельного эффекта — процесс термоядерного синтеза, питающий энергией звезды (см. Эволюция звезд). Один из этапов термоядерного синтеза — столкновение двух ядер дейтерия (по одному протону и одному нейтрону в каждом), в результате чего образуется ядро гелия-3 (два протона и один нейтрон) и испускается один нейтрон. Согласно закону Кулона , между двумя частицами с одинаковым зарядом (в данном случае протонами, входящими в состав ядер дейтерия) действует мощнейшая сила взаимного отталкивания — то есть налицо мощнейший потенциальный барьер. В мире по Ньютону ядра дейтерия попросту не могли бы сблизиться на достаточное расстояние и синтезировать ядро гелия. Однако в недрах звезд температура и давление столь высоки, что энергия ядер приближается к порогу их синтеза (в нашем смысле, ядра находятся почти на краю барьера), в результате чего начинает действовать туннельный эффект, происходит термоядерный синтез — и звезды светят.

Наконец, туннельный эффект уже на практике применяется в технологии электронных микроскопов. Действие этого инструмента основано на том, что металлическое острие щупа приближается к исследуемой поверхности на сверхмалое расстояние. При этом потенциальный барьер не дает электронам из атомов металла перетечь на исследуемую поверхность. При перемещении щупа на предельно близком расстоянии вдоль исследуемой поверхности он как бы перебирает атом за атомом. Когда щуп оказывается в непосредственной близости от атомов, барьер ниже, чем когда щуп проходит в промежутках между ними. Соответственно, когда прибор «нащупывает» атом, ток возрастает за счет усиления утечки электронов в результате туннельного эффекта, а в промежутках между атомами ток падает. Это позволяет подробнейшим образом исследовать атомные структуры поверхностей, буквально «картографируя» их. Кстати, электронные микроскопы как раз и дают окончательное подтверждение атомарной теории строения материи.

Различие в поведении квантовых и классических частиц проявляется в том случае, если на пути частицы встречается потенциальный барьер (при , при )

При данных условиях задачи классическая частица, обладая Е (полная энергия частицы), либо беспрепятственно пройдет над барьером (при E > U ), либо отразится от него (при E < U ) и будет двигаться в обратную сторону. Для микрочастицы же, даже при , имеется отличная от нуля вероятность, что она отразится от барьера. При имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l , т.е. проникнет сквозь барьер. Подобные выводы следуют из решения уравнения Шредингера для стационарных состояний. Рассмотрим случай , тогда для областей 1 и 3 имеем

для области 2

Общие решения этих дифференциальных уравнений:

(для области 1)

(для области 2)

(для области 3)

где , .

Решение вида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х , а решение вида - волне, распространяющейся в противоположном направлении. В области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент следует принять равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция y . Для того чтобы y была непрерывна во всей области изменений х от - ¥ до + ¥, должны выполняться условия: и . Для того чтобы y была гладкой, т.е. не имела изломов, должны выполняться условия: и .

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны

(7.11)

определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и называется коэффициентом отражения .

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны

определяет вероятность прохождения частицы через барьер и называется коэффициентом прохождения (прозрачности ). Для барьера конечной ширины

(7.12)

В случае барьера произвольной формы

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в нем, в связи с чем данное явление называется туннельным эффектом. С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица в туннеле должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией . Однако туннельный эффект – явление специфически квантовое. В квантовой же механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит соотношению неопределенностей.

Различие в поведении квантовых и классические частиц проявляется в том случае если на пути частицы встречается потенциальная ступень (при , при )

Для классической частицы: если Е – полная энергия частицы меньше U 0 то она не преодолеет и, потеряв часть скорости, будет двигаться вдоль Х .

Для квантовой частицы: если ,она проникнет на некоторую глубину, а затем начнет двигаться обратно.

Глубиной проникновения. при которой вероятность нахождения частицы уменьшается в е раз

Например, металлическое тело для свободных электронов является потенциальной ямой с U 0 , которая выше Е электрона на 1 эВ. Тогда Å.

Поверхность металла является потенциальным барьером, который электроны преодолевают на глубину и возвращаются обратно. Следовательно, поверхность металла окружена облаком электронов

В 1922 г. было открыто явление холодной электронной эмиссии (автоэмиссия) из ме
таллов под действием сильного внешнего электрического поля. Отрицательные значения координаты х (рис. 4) – это область металла,в котором электроны могут двигаться почти свободно. Здесь потенциальную энергию можно считать постоянной. На границе металла возникает потенциальная стена, не позволяющая электрону покинуть металл. Он может это сделать, лишь приобретя добавочную энергию, равную работе выхода А вых. При низкой температуре такую энергию может получить только ничтожная доля электронов. Если сделать металл отрицательной пластиной конденсатора, приложив к нему достаточно мощное электрическое поле, то потенциальная энергия электрона из-за его отрицательного заряда вне металла начнет уменьшаться.

Классическая частица не проникнет через такой потенциальный барьер. Сразу после появления квантовой механики Фаулер и Нордгейм объяснили явление холодной эмиссии с помощью туннельного эффекта для электронов. Электроны внутри металла имеют самые разные энергии даже при температуре абсолютного нуля, так как согласно принципу Паули в каждом квантовом состоянии может быть не больше одного электрона (с учетом спина). Поэтому число заполненных состояний равно числу электронов, а энергия самого верхнего заполненного состояния E F – энергия Ферми – в обычных металлах составляет величину порядка нескольких электронвольт так же, как и работа выхода.

Легче всего будут туннелировать электроны с энергией E F , с уменьшением энергии вероятность туннелирования резко падает. Все экспериментальные особенности, а также полная величина эффекта описываются формулой Фаулера – Нордгейма. Холодная электронная эмиссия – первое явление, успешно объясненное туннелированием частиц.

Туннельный эффект играет большую роль в электронных приборах.

Он обусловливает протекание таких явлений, как эмиссия электронов под

действием сильного поля, прохождение тока через диэлектрические плёнки,

пробой p–n-перехода; на его основе созданы туннельные диоды, разрабаты-

ваются активные плёночные элементы.

Сканирующие туннельные микроскопы созданы на основе туннельного эффекта.

> Квантовое туннелирование

Изучите квантовый туннельный эффект . Узнайте, при каких условиях возникает эффект туннельного зрения, формула Шредингера, теория вероятности, орбитали атомов.

Если объекту не хватает энергии, чтобы пробиться сквозь барьер, то он способен туннелироваться через воображаемое пространство с другой стороны.

Задача обучения

Выявить факторы, влияющие на вероятность туннелирования.

Основные пункты

Квантовое туннелирование используют для любых объектов перед барьером. Но в макроскопических целях вероятность возникновения небольшая.
Туннельный эффект возникает из-за мнимой компонентной формулы Шредингера. Так как она присутствует в волновой функции любого объекта, то может существовать в воображаемом пространстве.
Туннелирование сокращается с ростом массы тела и увеличением разрыва между энергиями объекта и барьера.

Термин

Туннелирование – квантово-механическое прохождение частички сквозь энергетический барьер.

Как возникает туннельный эффект? Вообразите, что вы бросаете мяч, но он исчезает мгновенно, так и не коснувшись стены, и появляется с другой стороны. Стена здесь останется целой. Удивительно, но существует конечная вероятность того, что это событие осуществится. Явление именуют квантовым туннельным эффектом.

На макроскопическом уровне возможность туннелирования остается незначительной, но она постоянно наблюдается в наномасштабах. Давайте посмотрим на атом с р-орбиталью. Между двумя долями расположена узловая плоскость. Есть вероятность, что в любой ее точке можно найти электрон. Однако электроны переходят от одной доли к другой путем квантового туннелирования. Им просто нельзя находиться в узловой области, и они путешествуют по воображаемому пространству.

Красная и синяя доли показывают объемы, где присутствует 90% вероятность обнаружения электрона в любой временной промежуток, если орбитальная зона занята

Временное пространство не выступает реальным, но оно активно участвует в формуле Шредингера:

Вся материя располагает волновым компонентом и может существовать в мнимом пространстве. Понять разницу вероятности туннелирования поможет комбинация массы, энергии и высоты энергии объекта.

Когда объект подходит к барьеру, волновая функция меняется от синусоидальной до экспоненциально сокращающейся. Формула Шредингера:

Вероятность туннелирования становится меньше при росте массы объекта и возрастания разрыва между энергиями. Волновая функция никогда не приближается к 0, поэтому туннелирование так часто встречается в наномасштабах.

Самым ярким представителем квантовых размерных эффектов является туннельный эффект – чисто квантовое явление, сыгравшее важную роль в развитии современной электронике и приборостроении. Феномен туннелирования был открыт в 1927 г. нашим соотечественником Г. А. Гамов, который впервые получил решения уравнения Шрёдингера, описывающие возможность преодоления частицей потенциального барьера, даже если её энергия меньше высоты барьера. Найденные решения помогли понять многие экспериментальные данные, которые невозможно было понять в рамках представлений классической физики.

Впервые в физике туннельный эффект был использован для объяснения радиоактивного - распада атомных ядер, например:

Дело в том, что - частица – ядро атома гелия - не имеет достаточной энергии для того, чтобы покинуть нестабильное ядро. На этом пути - частице необходимо преодолеть огромный (28 МэВ), но достаточно узкий (10 -12 см – радиус ядра) потенциальный барьер. Советский учёный Г. Гамов (1927) показал, что распад атомного ядра в таком случае становится возможным именно за счёт тунелирования переноса - частицы. Благодаря туннельному эффекту происходит также холодная эмиссия электронов из металлов и многие другие явления. Многие считают, что за грандиозность результатов его работ, ставших основополагающими для многих наук, Г.А. Гамов должен был быть удостоен нескольких Нобелевских премий. Лишь спустя тридцать лет после открытия Г. А. Гамова появились первые приборы на основе туннельного эффекта – туннельные диоды, транзисторы, датчики, термометры для измерения сверхнизких температур, и, наконец, сканирующие туннельные микроскопы, положившие начало современным исследованиям наноструктур. Туннельный эффект представляет собой процесс преодоления микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелированный неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект – явление исключительно квантовой природы, которое не возможно было объяснить в рамках классических представлений. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. В общем случае, туннельный эффект представляет собой процесс преодоления микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. В классической механике движение происходит при условии, что полная энергия частицы больше, чем её потенциальная энергия , т.е. имеет место неравенство:

Поскольку полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

и кинетическая энергия больше нуля , то соответственно разность полной и потенциальной энергий, также будет больше нуля:

и таким образом будет выполняться условие вида:

Необходимо отметить, что задача о движении частицы в потенциальном ящике удовлетворяет данному условию, поскольку внутри ящика потенциальная энергия равна нулю . Однако в квантовой механике движение возможно и при условии, когда полная энергия меньше потенциальной . Такие задачи объединяют общим названием – потенциальные барьеры. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы. Пусть в области I значение потенциала равно нулю, . В области II значение потенциальной энергии равно определяется высотой барьера и таким образом . В области III значение потенциальной энергии равно нулю, . Обозначим волновые функции для областей: для области I, для области II и для области III. В данной задаче нас будет интересовать случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера , т.е. при условии что .

Рис.8. Прохождение частицы через потенциальный барьер

Для каждой из трёх областей запишем уравнение Шрёдингера, приведём его к стандартному виду и опишем его общие решения. Рассмотрим движение частицы в области I. Обозначим волновую функцию частицы в этом случае . Как и в случае свободного движения частицы, соответствующее уравнение Шрёдингера запишется в виде:

откуда следует, что:

общее решение уравнения Шрёдингера для области I, может быть записано в виде:

первую часть функции можно интерпретировать как падающую на потенциальный барьер волну (движение частицы слева направо в области I). Коэффициенты и называют амплитудами соответственно падающей и отражённой волны. Они определяют вероятность прохождения волны через потенциальный барьер, а также вероятность её отражения от барьера. Поскольку коэффициенты разложения в выражении для волновой функции связаны с интенсивностью пучка частиц движущихся к барьеру или отражённых от него, тогда соответственно принимая амплитуду падающей волны , будем иметь:

Рассмотрим теперь движение частицы в области II. В условиях данной задачи, физический интерес для нас будет представлять случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, что отвечает выполнению условия вида:

поскольку для области II:

т.е. значения потенциальной энергии частицы определяется высотой барьера – размером области:

тогда уравнение Шрёдингера для области II будет иметь вид: